| Author |
 Topic  |
|
okref
Velmi aktivní uživatel
672 Posts |
 Posted - 20/04/2009 : 21:24:07
|
quote:
okref, jenže to je přeci nesmysl, že myš je od kočky nekonečně daleko...
ano, je to nesmysl. Alespoň pro zdravý rozum je to nesmysl. Ale co za předpokladu, že myš se bude vzdalovat o polovinu délky, která je mezi ní a kočkou?
Jak ty to vidíš? Je prostor mezi nimi dělitelný do nekonečna?
quote:
...z nich plyne, že 1 a 0 nejsou nekonečně vzdáleny. Pokud bys začal tvrdit, že 1 a 0 jsou nekonečně vzdáleny, pak by z toho plynulo, že cokoliv od čehokoliv (kromě od sebe samého) je vzdáleno nekonečně.
Proto nikdy nic takového tvrdit nebudu a nikdy jsem netrvdil. Snad jsem jen udával předpoklady(nebo spíš přebíral předpoklady někoho jiného), o nichž jsem zjišťoval, jestli jsou hodné stvrzení.
|
 |
|
|
jrf
Aktivní uživatel
Czech Republic
278 Posts |
Posted - 20/04/2009 : 23:59:34
|
quote:
Originally posted by okref
jrf,
Naproti mně ty necháváš dva systémy vedle sebe. Jeden se nedotýká druhého.
Ale dotýkají. Součet nekonečné geometrické posloupnosti je konečné číslo.
quote:
Originally posted by okref
jrf,
... tak podle mě shodně tvrdíme, že od 0 k 1 jsou myslitelné dvě cesty. Jedna nekonečně dlouhá ...
To právě neguji v každém svém příspěvku - ta cesta není nekonečně dlouhá, je konečná. Obsahuje však nekonečně mnoho prvků.
No už se dost opakujem, jsme zakopaní hluboko ve svých pozicích  |
|
|
|
Rzwald
Grafoman
1522 Posts |
Posted - 21/04/2009 : 02:15:29
|
quote:
Originally posted by okref
quote:
okref, jenže to je přeci nesmysl, že myš je od kočky nekonečně daleko...
ano, je to nesmysl. Alespoň pro zdravý rozum je to nesmysl. Ale co za předpokladu, že myš se bude vzdalovat o polovinu délky, která je mezi ní a kočkou?
Jak ty to vidíš? Je prostor mezi nimi dělitelný do nekonečna?
jde o to, zda fyzikální nebo jeho matematický model...
...fyzikální prostor ani čas (tj. ten reálný) podle kvantovky dělitelný donekonečna není, jsi omezen Planckovou délkou. Mimochodem v tématu paradox se někde na začátku (než se přešlo k diskuzi o STR) řešils Zenónova aporie s letícím šípem...tam je to imo dokonce i logicky odvozeno. Podle Einsteina je však nekonečně dělitelný i fyzikální prostor...takže řekněme, že v tom nepaduje uplná shoda zatím...
..nicméně matematicky donekonečna dělitelný je určitě--není to o názoru, to je matematická pravda...o tom jrf ví více než já.
Jak se s tím vypořádat selským rozumem jsem nabídl (takhle jsem to kdysi uchopil já) ten příměr k hustotě pár příspěvků dozadu.
Nicméně můžu uvést i hezkou matematickou ukázku toho jak nekonečnou řadu, co zde uváděl jrf spočíst i bez vzorce:
součet = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... | ..obě strany rovnice vynásobím 2
2·součet = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ...
...no a teď od druhé rovnice odečtu první :-) (a využiju asociativity sčítání pro přezávorkování)..a jsem hotov:
2·součet - součet = 2 + 1-1 + 1/2-1/2 + 1/4-1/4 + ...
tedy
součet = 2
..pokud bys to udělal obecně s písmenkama, tak dostaneš obecné odvození vzorce pro spočítání geometrické řady jak je na wikipedii..
|
|
|
|
okref
Velmi aktivní uživatel
672 Posts |
Posted - 21/04/2009 : 13:58:34
|
quote:
No už se dost opakujem, jsme zakopaní hluboko ve svých pozicích
Možná bychom tedy mohli prověřit to pořekadlo, že opakování ja matkou moudrosti.
Ale už mi začíná svítat, proč nemůže panovat shoda v naší řeči.
Navrhuji docela jednoduché řešení. Bylo by možné, abys namísto slova "nekonečné" použil slovo "nespočetné" ve svých řečech? Jestliže ano, bude nedorozumění vyřešeno.
(Jestliže slovo nespočetné nebude vystihovat správnost tvého pojetí problematiky, o kterou nám jde, pak na tebe mám nachystáno nepříjemné obvinění z podvodu. Ale nechci předbíhat. ) |
|
|
|
jrf
Aktivní uživatel
Czech Republic
278 Posts |
Posted - 21/04/2009 : 14:23:09
|
quote:
Originally posted by okref
quote:
No už se dost opakujem, jsme zakopaní hluboko ve svých pozicích
Možná bychom tedy mohli prověřit to pořekadlo, že opakování ja matkou moudrosti.
Ale už mi začíná svítat, proč nemůže panovat shoda v naší řeči.
Navrhuji docela jednoduché řešení. Bylo by možné, abys namísto slova "nekonečné" použil slovo "nespočetné" ve svých řečech? Jestliže ano, bude nedorozumění vyřešeno.
(Jestliže slovo nespočetné nebude vystihovat správnost tvého pojetí problematiky, o kterou nám jde, pak na tebe mám nachystáno nepříjemné obvinění z podvodu. Ale nechci předbíhat. )
Já už to nebudu číst celý znova a kontrolovat, do čeho mě to chceš proháčkovat  myslím, že jsem to všechno popsal dost podrobně, Rzwald ti dokonce pěkně popsal důkaz vzorce pro součet geometrické řady.
Kromě toho výraz nespočetné má svůj matematický význam, protože rozlišujeme nekonečno ve smyslu racionálních čísel a nekonečno ve smyslu reálných čísel. Jinými slovy říkáme, že množina racionálních čísel je nekonečná, ale spočetná, a množina reálných čísel je nekonečná a nespočetná. Ale do toho už vážně nejdu
Ono jde vidět, že máš prostě svůj pohled na nekonečno a nikdo ti ho nevyvrátí, takže další debata mezi námi je podle mě bezpředmětná ... |
Edited by - jrf on 21/04/2009 15:38:00 |
|
|
|
okref
Velmi aktivní uživatel
672 Posts |
Posted - 21/04/2009 : 16:23:15
|
Dobře tedy,
ale snad by si pro jednu ukončenou řeč mezi námi, nechtěl uzavřít řeč veškerou. Nechme stranou mou ideu nekonečna a tvůj matematický pojem nekonečna a přejděme k něčemu novému a zajímavému.
Když říkám novému a zajímavému, jsem tak trochu sobec, protože tím vlastně myslím stejné či podobné téma, které tu běží, a které pro tebe není nijak nové. Nezabývám se matematikou a některé její divy mi jsou zatím nezpřístupněny, jsou pro mě nové a zajímavé. Když se tě tedy teď zeptám na čísla a na to, co to je, že se v matematice nazývají nespočetná, tak to nechápej jako bych pokračoval v řeči, kterou jsme právě uzavřeli. Jen mě prostě zajímá, co to znamená ta "nespočetná čísla" oproti nekonečným číslům. Na nekonečná čísla zvlášť se tě ptát nebudu, protože to už si mi nadmíru bohatě vysvětlil v předchozí řeči a myslím, že tomu rozumím.
Jde mi jen o to, vidět nové věci matematiky. Nijak se rozumem nebudu stavět proti tomu, co mi bude říkat, nebude-li ti to po chuti. |
Edited by - okref on 21/04/2009 16:27:04 |
|
|
|
jrf
Aktivní uživatel
Czech Republic
278 Posts |
Posted - 21/04/2009 : 20:54:36
|
quote:
Originally posted by okref
Dobře tedy,
ale snad by si pro jednu ukončenou řeč mezi námi, nechtěl uzavřít řeč veškerou ...
To víš, že ne Pojďme dál, rád ti to popíšu.
Předně, nejedná se o (ne)spočetné číslo, ale o (ne)spočetnou množinu, tj. množinu, která obsahuje (ne)spočetně mnoho čísel.
Ale od začátku. Nekonečná množina je množina, která obsahuje nekonečně mnoho čísel. Matematici řeknou, že množina obsahuje nekonečně mnoho čísel, pokud najdou nějaký algoritmus, který generuje další a další čísla, například "Po každém čísle je další" nebo "Mezi každými dvěma čísly je další" atd.
V rámci nekonečné množiny rozlišujeme množinu spočetnou a nespočetnou. Ta nespočetná je jakoby nekonečnější než spočetná  v následujícím smyslu(teď to bude nejtěžší):
1, Pojmy:
N je množina přirozených čísel, tj. {1,2,3 ...}
Z je množina celých čísel, tj. {... -3,-2,-1,0,1,2,3 ...}
R je množina reálných čísel, tj. prostě jako celá čísla plus všechna mezi nima
2, Z čísel množin N a Z můžeme vytvořit dvojice čísel tak, že každé číslo bude v nějaké dvojici, například tímto způsobem:
N,Z=[1,0],[2,-1],[3,1],[4,-2],[5,2],[6,-3],[7,3],[8,-4],[9,4] ...
Protože jdou množiny N a Z takto "spárovat", říkáme, že mají stejnou mohutnost a spočetnou množinou nazýváme každou množinu, která má stejnou mohutnost jako množina N, tj každou, která se dá s N spárovat. Je zajímavé, že spočetná je například množina desetinných čísel(algortimus párování s N znám, ale psal bych ho sem půl dne)
3, Je prokázáno (a ten důkaz neznám), že množina R reálných čísel nejde spárovat s množinou N. Proto říkáme, že množina R je mohutnější než spočetné množiny a proto jí nazýváme nespočetnou.
Tož tak podrobněji se mi to teď psát nechce, raději počkám na případné dotazy
|
|
|
|
---
Nový uživatel
29 Posts |
Posted - 21/04/2009 : 21:54:59
|
quote:
Originally posted by jrf
3, Je prokázáno (a ten důkaz neznám), že množina R reálných čísel nejde spárovat s množinou N. Proto říkáme, že množina R je mohutnější než spočetné množiny a proto jí nazýváme nespočetnou.
jrf, jsi z pražského matfyzu nebo ne? Tento důkaz se probírá během prvních přednášek kurzu matematické analýzy hned v prvním ročníku. A jako matematik jsi určitě musel absolvovat teorii množin.
Jedná se o důkaz tzv. Cantorovou diagonální metodou:
Pro spor předpokládejme, že lze vypsat všechna reálná čísla v intervalu [0,1] do posloupnosti indexované přirozenými čísly. Udělejme to tedy:
0,A11A12A13...
0,A21A22A23...
0,A31A32A33...
.
.
.
Nyní vytvořme nové číslo
0,B1B2B3...
takové, že Bi = Aii + 1
Toto číslo se liší alespoň v jedné cifře od všech dosud vypsaných z intervalu [0,1]. Máme tedy nové číslo, které v posloupnosti z předpokladu nebylo. Vzniká tedy spor s předpokladem. Závěr tedy je, že reálná čísla z intervalu [0,1] nelze zapsat do posloupnosti indexované přirozenými čísly a tedy množina reálných čísel je nespočetná. Quod erat demonstrandum.
|
|
|
|
okref
Velmi aktivní uživatel
672 Posts |
Posted - 21/04/2009 : 22:15:05
|
A dotaz na sebe nenechal dlouho čekat.
Je mi to jasné až na to, že nedokážu domyslet ten princip, podle kterého se spárovává. Mám dvojici čísel každé z jiné množiny. Ale nevím, jak poznat které množiny spárovat lze. Zatím to chápu jen tak, že vezmu číslo z jakékoli množiny a prdnu ho k číslu z jiné množiny. Tím se mi ty části množiny prolnou nebo doplní nebo jak to nazvat. Ale to prdnutí mi nevysvětluje, proč N a R spárovat nelze. Takže prdění nebude tím správným principem, na kterém se to zakládá.
( Jestli ono to nebude tou stejnou velikostí jednotky. Ale to by zase nevysvětlovalo, že desetinná č. jsou spočetná. )
|
|
|
|
jrf
Aktivní uživatel
Czech Republic
278 Posts |
Posted - 21/04/2009 : 22:39:09
|
quote:
Originally posted by ---
jrf, jsi z pražského matfyzu nebo ne? Tento důkaz se probírá během prvních přednášek kurzu matematické analýzy hned v prvním ročníku. A jako matematik jsi určitě musel absolvovat teorii množin.
...
Jsem z PřF MU a tento důkaz jsme brali v úvodních přednáškách ze základů matematiky. Nejsem ale typ studenta, který by si pamatoval všechny důkazy
Tak díky za doplnění |
|
|
|
jrf
Aktivní uživatel
Czech Republic
278 Posts |
Posted - 21/04/2009 : 22:57:05
|
quote:
Originally posted by okref
A dotaz na sebe nenechal dlouho čekat.
Je mi to jasné až na to, že nedokážu domyslet ten princip, podle kterého se spárovává. Mám dvojici čísel každé z jiné množiny. Ale nevím, jak poznat které množiny spárovat lze. Zatím to chápu jen tak, že vezmu číslo z jakékoli množiny a prdnu ho k číslu z jiné množiny. Tím se mi ty části množiny prolnou nebo doplní nebo jak to nazvat. Ale to prdnutí mi nevysvětluje, proč N a R spárovat nelze. Takže prdění nebude tím správným principem, na kterém se to zakládá.
( Jestli ono to nebude tou stejnou velikostí jednotky. Ale to by zase nevysvětlovalo, že desetinná č. jsou spočetná. )
To, že lze spárovat množiny A a B poznáš tak, že najdeš algoritmus, který každému číslu množiny A přiřadí číslo z množiny B a naopak. Pokud ho nenajdeš, nemůžeš se domnívat, že jsou spárovatelné.
Proč nelze spárovat N a R napsal ---, ale to už není nic lehkýho. |
|
|
|
Rzwald
Grafoman
1522 Posts |
Posted - 21/04/2009 : 23:18:01
|
quote:
Originally posted by okref
Ale nevím, jak poznat které množiny spárovat lze.
jednoduše -- musíš nějak dokázat, že to lze, a nebo dokázat, že to nelze...
důkaz, že to lze, se provede tak, že ukážeš, jak konkrétně to uděláš..
můžeš použít více méně libovolný způsob párování, ale musí z něho být poznat, že jsi žádné číslo nevynechal... (!!!)
...proto nelze párovat tím tvým "prdáním" :-) ..protože z takového náhodného přiřazování není vidět, že na žádné nezapomeneš
...u způsobu jrf je jasně vidět, že na žádné nezapoměl, protože on postupuje systematicky --napřed nulu a potom číslo o jedničku vyšší (=1), pak číslo jemu opačné (=-1), pak zase o jedničku vyšší (=2) a opačné (-2)
...takhle je jasné, že nezapomene na žádné celé číslo...
...tedy všechna celá čísla dokáže tímto způsobem napsat do řady...a členy té řady se pak už jen očíslují přirozenými čísli, takže každé celé je v páru s přirozeným --a o to šlo, ukázat, že je lze spárovat
quote:
Originally posted by okref
Ale to prdnutí mi nevysvětluje, proč N a R spárovat nelze.
to vysvětluje důkaz od tříčtverečka...
..on předpokládá opak, vypíše všechna reálná čísla do sloupce a potom sestrojí dvě další význačná reálná čísla. První výjmečné číslo (Bi=Aii) má "z každého řádku sloupce něco" a druhé výjmečné číslo (Aii+1)* je "ve všech cifrách odlišné od prvního výjmečného čísla" (akorád tříčtvereček je minimalista, tak tyto dva kroky napsal hned dosebe) -- a to znamená, že druhé výjmečné číslo, které je reálné (neboť jsme ho dokázali napsat desetinným rozvojem), je odlišné od jakéhokoliv čísla ve sloupečku (od prvního čísla ze sloupečku v první cifře, u druhého čísla ze sloupečku v druhé cifře, atd.) ...což je spor s předpokladem.
*přičemž je jasné, že 9+1=0 :-) (tj. sčítá se modulo 9)
...když si to budeš číst dostatečně dlouho, nakonec se tvá mysl podvolí...
...matematické důkazy obvykle nejsou pochopitelné hned na první přečtení
..tady na tenhle si vzpomínám, že jsem do něho koukal půl hodinu...za čež se teda stydím, ale už jsem zažil důkazy, do kterých jsem zíral i hodinu (!) (což je o to tristnější, že já jsem takových těch opravdu "pořádných" důkazů na několik stran ještě moc nezažil....)
|
Edited by - Rzwald on 21/04/2009 23:22:07 |
|
|
|
okref
Velmi aktivní uživatel
672 Posts |
Posted - 22/04/2009 : 10:10:06
|
| Kdyby mi někdo teď ukázal, jak to, že desetinná čísla jsou spočetná, tak bych měl jasno v tom, jestli tomu rozumim nebo ne. |
|
|
|
Rzwald
Grafoman
1522 Posts |
Posted - 22/04/2009 : 16:52:02
|
quote:
Originally posted by okref
Kdyby mi někdo teď ukázal, jak to, že desetinná čísla jsou spočetná, tak bych měl jasno v tom, jestli tomu rozumim nebo ne.
zase...jsou spočetná, protože je lze očíslovat...a to lze provést takhle:
1. všechna kladná si napíšu do tabulky
| 1 | 2 | 3 | ...
---------------------------------
1 | 1/1 | 2/1 | 3/1 | ...
---------------------------------
2 | 1/2 | 2/2 | 3/2 | ...
---------------------------------
3 | 1/3 | 2/3 | 3/3 | ...
---------------------------------
..| ... | ... | ... | ...
..je vidět, že tam budou opravdu všechna, neboť v čitateli i jmenovateli mám všechny kombinace čísel (a racionální jsou právě ta, která lze vyjádřit nějakým zlomkem). Některá tam budou i vícekrát (protože např. 1/1=2/2=3/3 atd.), což však ničemu nevadí. Mysli si jakýkoliv kladný zlomek a já ti řeknu, kde v tabulce je (např. 768/1112 bude v 768 sloupci a 1112 řádku) --- protože jsem schopen ti to takhle říct o libovolném kladném zlomku, znamená to, že v tabulce jsou opravdu všechny
2. udělám druhou, uplně stejnou tabulku (nebudu ji zde ani psát), která bude i stejně vyplněná, akorád tam budou záporný čísla...
..takže (kromě nuly) jsem vypsal všechna racionální čísla do dvou tabulek.
3. pokud se mi podaří všechny buňky obou tabulek očíslovat přirozenými čísli, důkaz bude hotov
očíslování můžu provést například takhle (číslování začnu od dvojky):
(nyní už nebudu psát záhlaví té tabulky, které mělo jen zviditelnit způsob, kterým se vyplňuje)
-------------------------------------------------------------------------------------
... | -3/1 ->17 | -2/1 ->16 | -1/1 -> 3 | 1/1 -> 2 | 2/1 -> 7 | 3/1 -> 8 | ...
------------------------------------------------------------------------------------
... | -3/2 ->18 | -2/2 ->15 | -1/2 -> 4 | 1/2 -> 5 | 2/2 -> 6 | 3/2 -> 9 | ...
-------------------------------------------------------------------------------------
... | -3/3 ->19 | -2/3 ->14 | -1/3 ->13 | 1/3 ->12 | 2/3 ->11 | 3/3 ->10 | ...
-------------------------------------------------------------------------------------
... | ... -> 20 ... -> 21 ..atd.
no, tabulka začíná od dvojky, neboť jednička je schována, aby se mohla spárovat s nulou (tzn. se všemi zlomky, kteří v čitateli mají nulu)
tímto systémem máš opět zajištěno, že ke každému racionálnímu číslu bude přiřazeno číslo přirozené.
Můžeš se však ptát, proč jsem očíslování provedl zrovna tímto způsobem. Proč třeba nečísluji "normálně" po řádcích...že začnu zleva a jedu po řádku doprava až nakonec, pak skočím na další řádek, atd. To nemohu, neboť řádek je na obě strany nekonečný. nemohu začít odleva, nevěděl bych totiž kde začít.
Tak dobře, začnu od 1/1 a budu pokračovat do nekonečna...a pak na druhou stranu. Takhle to taky nejde, neboť do nekonečna opět nejde dolezt...tzn. neměl bych zaručeno, že jsem očísloval celou tabulku, měl bych zaručeno, že jsem očísloval "půlku" prvního řádku.
Očíslovat musíš tak, abys mohl říct, jaké číslo bude přiřazené jakému. Mysli si jakékoliv racionální číslo a já tě řeknu, kdy se k němu doleze, protože k jakémukoliv racionálnímu číslu se v předloženém způsobu očíslování doleze v konečném počtu kroků, který můžeš jednoduše spočítat.
Takhle se můžeš u libovolného racionálního čísla přesvědčit, že je skutečně spárované s přirozeným...
...což bylo dokázati :-) |
|
|
|
okref
Velmi aktivní uživatel
672 Posts |
Posted - 23/04/2009 : 08:45:02
|
| Díky, Rzwalde, za to podrobné vysvětlení. Je mi to tak nějak jasné, až do chvíle, kdy se začnou objevovat čísla. Svět čísel mi zůstává zahalen mlhou. |
|
|
|
Topic |
|
|
|
Existuje a lze podle Vás dokázat nekonečno?
