| Author |
 Topic  |
|
noemus
Grafoman
Czech Republic
1149 Posts |
 Posted - 02/12/2008 : 09:54:46
|
quote:
Originally posted by Miloslav Bažant
K paradoxu by došlo,kdby výška rovnostranného trojůhelníku odpovídala průměru koule. Pak by bylo možné vyjádřit vnitřní úhly pouze v záporné hodnotě a vnitřní úhly tohoto trojůhelníku by vlastně byly vně trojůhelníku.
Upozorňuji tě, že na kouli se dvě přímky protínají vždy na dvou místech a dále, že velikost každého úhlu je vždy kladná a tak je jejich součet logicky také kladný, ať už tě zajímá vnější nebo vnitřní úhel.
Výšku trojúhelníku na kouli nemůžeš vést vnitřkem koule, pak by se nejdnalo o kulovou geometrii ale o prostorovou. Výškou trojúhelníku je tedy zase usečka, tedy vlastně část kružnice.
Protože přímka na kouli vždy rozděluji povrch koule na dvě stejné poloviny, tak nemůže být žádný trojúhelník větší než polovina koule a když tedy přidáš další dvě přímky, tak ti vždy vyjde trojúhelník u kterého sčítáš vnitřní úhly. Nicméně ti takových trojúhelníků může vyjít více. Schválně zkus říci kolik trojúhelníků ti na kouli vždy vznikne? |
 |
|
|
Rzwald
Grafoman
1522 Posts |
Posted - 02/12/2008 : 10:09:18
|
quote:
Originally posted by noemus
Pokud by to však byla kolmice, pak po konečném počtu prodloužení nezjistíš zda se protnou nebo ne, musel bys pokračovat do nekonečna a to je právě ten problém. Není zde tedy žádný konečný způsob jak se ujistit, že se jedná skutečně o rovnoběžku.
tohle je imo stejný, jako říct, že když mám proceduru:
výchozí stav: x = y
1. krok: x+1 = y+1
2. krok: x+2 = y+2
atd. (tedy v každém kroku přičtu k oběma stranám rovnice jedničku)
...tak že si nemohu být jist, zda po i nekonečnu krocích mi bude levá strana stále odpovídat straně pravé
pokud opravdu vím, že jsem sestrojil kolmé dvě kolmé úsečky...pak jen prodlužuji to, co je...je tedy jasné, že budou kolmé i v nekonečnu (stejně tak i x+nekonečno bude = y+nekonečno)
quote:
Originally posted by noemus
ale na kouli se dvě přímky vždy protnou. Pátý axiom tu tedy neplatí.
nemusí...můžeš je udělat rovnoběžný (řezy na průměru)
|
|
|
|
noemus
Grafoman
Czech Republic
1149 Posts |
Posted - 02/12/2008 : 10:43:43
|
quote:
Originally posted by Rzwald
tohle je imo stejný, jako říct, že když mám proceduru:
výchozí stav: x = y
1. krok: x+1 = y+1
2. krok: x+2 = y+2
atd. (tedy v každém kroku přičtu k oběma stranám rovnice jedničku)
...tak že si nemohu být jist, zda po i nekonečnu krocích mi bude levá strana stále odpovídat straně pravé
To je jiné, tady totiž v každém kroku můžeš použít tento velmi starý postulát (a na něm se snad shodneme): Pridáš-li ke stejnému stejné, pak jsou celky také stejné.
V každém kroku máš tedy zaručeno že součty už stejné jsou, nemusíš to tedy dělat do nekonečna. U rovnoběžek, ale nemáš zaručeno, že se neprotnou. Musel bys to zaručit postulátem, že se neprotnou a to je přesně pátý postulát.
quote:
pokud opravdu vím, že jsem sestrojil kolmé dvě kolmé úsečky...pak jen prodlužuji to, co je...je tedy jasné, že budou kolmé i v nekonečnu (stejně tak i x+nekonečno bude = y+nekonečno)
Není ale jasné zda se dvě rovnoběžky protnou nebo ne - respektive není to "vidět". Musíš to vědět předem. Resp. ty to vlastně nevíš, ty to předpokládáš. A existence neeukleidovských geometrií je vlatně důkaz, že to ani vědět nemůžeš.
quote:
quote:
Originally posted by noemus
ale na kouli se dvě přímky vždy protnou. Pátý axiom tu tedy neplatí.
nemusí...můžeš je udělat rovnoběžný (řezy na průměru)
To snad nemyslíš vážně. Buď nevíš co je přímka na kouli, nebo nevíš co je rovnoběžné nebo nevíš co je protnout. Jiná možnost, proč plácáš takové nesmysly, mne nenapadá. Kulová (resp. eliptická) geometrie se právě vyznačuje tím, že tam rovnoběžky nejsou. |
|
|
|
Rzwald
Grafoman
1522 Posts |
Posted - 02/12/2008 : 16:51:45
|
quote:
Originally posted by noemus
quote:
Originally posted by Rzwald
tohle je imo stejný, jako říct, že když mám proceduru:
výchozí stav: x = y
1. krok: x+1 = y+1
2. krok: x+2 = y+2
atd. (tedy v každém kroku přičtu k oběma stranám rovnice jedničku)
...tak že si nemohu být jist, zda po i nekonečnu krocích mi bude levá strana stále odpovídat straně pravé
To je jiné, tady totiž v každém kroku můžeš použít tento velmi starý postulát (a na něm se snad shodneme): Pridáš-li ke stejnému stejné, pak jsou celky také stejné.
V každém kroku máš tedy zaručeno že součty už stejné jsou, nemusíš to tedy dělat do nekonečna. U rovnoběžek, ale nemáš zaručeno, že se neprotnou. Musel bys to zaručit postulátem, že se neprotnou a to je přesně pátý postulát.
quote:
pokud opravdu vím, že jsem sestrojil kolmé dvě kolmé úsečky...pak jen prodlužuji to, co je...je tedy jasné, že budou kolmé i v nekonečnu (stejně tak i x+nekonečno bude = y+nekonečno)
Není ale jasné zda se dvě rovnoběžky protnou nebo ne - respektive není to "vidět". Musíš to vědět předem. Resp. ty to vlastně nevíš, ty to předpokládáš. A existence neeukleidovských geometrií je vlatně důkaz, že to ani vědět nemůžeš.
ano, ale ten postulát je tak jasný jako je jasný postulát přidáš-li ke stejnému stejné
quote:
Originally posted by noemus
quote:
quote:
Originally posted by noemus
ale na kouli se dvě přímky vždy protnou. Pátý axiom tu tedy neplatí.
nemusí...můžeš je udělat rovnoběžný (řezy na průměru)
To snad nemyslíš vážně. Buď nevíš co je přímka na kouli, nebo nevíš co je rovnoběžné nebo nevíš co je protnout. Jiná možnost, proč plácáš takové nesmysly, mne nenapadá. Kulová (resp. eliptická) geometrie se právě vyznačuje tím, že tam rovnoběžky nejsou.
no neznám definici přímky....ale když mám sféru, tak na ní můžu sestrojit rovnoběžné kružnice....
...snad všechny přímky na kouli (tedy na sféře) jsou kružnice, ok?
potom ale můžu udělat nekonečno ronoběžných přímek (kružnic)
i pokud vezmu definici, že vezmu dva body, ty spojím nejkratší možnou cestou a pak protáhnu, tak to taky vytvoří kružnice...
...jak chceš udělat na kouli přímku, aby to nebyla kružnice?!
|
|
|
|
Rzwald
Grafoman
1522 Posts |
|
|
noemus
Grafoman
Czech Republic
1149 Posts |
Posted - 02/12/2008 : 17:30:19
|
quote:
Originally posted by Rzwald
tady to máš na obrázku (napravo) ty rovnoběžky http://www.obloha.webzdarma.cz/sourad1.GIF
...dokonce mají svůj název (almukantaráty)
Přímka na kouli je kružnice, ale ne každá kružnice na kouli je přímka. Nerad ti zase dávám úkoly, ale přímka je definována jako nejkratší spojnice dvou bodů, ale ne všechny kružnice na kouli tohle splňují, promysli si to ... |
|
|
|
noemus
Grafoman
Czech Republic
1149 Posts |
Posted - 02/12/2008 : 17:31:59
|
quote:
Originally posted by Rzwald
ano, ale ten postulát je tak jasný jako je jasný postulát přidáš-li ke stejnému stejné
No to bohužel není. Protože "jasný" znamená, že to vidíš. ale jak můžeš vidět, že se něco v nekonečnu neprotíná?
Možná by sis měl ujasnit proč ti to vlastně připadá zřejmé. Není to náhodou proto, že ses to takhle ve škole učil? |
Edited by - noemus on 02/12/2008 17:37:33 |
|
|
|
Miloslav Bažant
Ultragrafoman
Czech Republic
6254 Posts |
Posted - 02/12/2008 : 17:47:18
|
Problém je Slávku v tom, že se na trojúhelník a přímku musíš dívat z hlediska prostoru ve kterém jej vytváříš. Když se na kouli díváš z hlediska našeho Eukleidovského prostoru, pak se ti zdá, že to trojúhelník není. Pokud bys ale žil v kulovém prostoru, pak bys zjistil, že když když nakrelsíš tojúhelník a změříš jeho úhly, pak ti vyjde více než 180°.
Richarde.
Já myslím, že to není o pokoře.Nežiji v kulovém prostoru a ani nevím, že by někde existoval. Přímka a kružnice jsou pro mne naprosto rozdílné věci. Skus si přenést ten trojůhelník s kulového prostoru do dvojrozměrného a poznáš,že to trojůhelník není,protože jeho strany jsou vyklenuté,čili je to jiný tvar a tak to beru. Je li řeč o trojůhelníku,apk mluvím o trojůhelníku a nikoliv jiném tvaru. Pokud jsou ty strany zaoblené,pak nedokáži ani změřit úhel, který svírají, leda bych měžil úhel tečen kružnice. -Jenže v jaké vzdálenosti od vrcholu???
Píšeš, že je to rovnoběžkách. Ale o těch zde nebyla zmínka,reagoval jsem na slova o trojůhelníku. Píšeš,že se rovnoběžky na kouli protnou v nekonečnu. Kruh je nekonečno a nikdy jsem na něm neviděl že by se tam protly rovnoběžky.I kdybys jezdil po jedné rovnoběžce a já po druhé do zániku světa, nikdy bychom se nemohli potkat,protože bychom jezdili stále po stejné kružnici (nikoliv přímce) To užívané ,že se rovnoběžky protínají v nekonečnu, je jen vyjádřením toho, že nekonečno konec nemá, čili že se protnout nemohou. Totéž platí u těch rovnoběžek. Přijmeš li slova o tom že se rovnoběžky v nekonečnu protnou,pak jsi neporozuměl významu těchto slov. Tím není řečeno, že se protnout prostě nemohou.Stálým opakováním to někdy člověk přijímá jako moudrou pravdu kterou není možno vyvrátit,protože konec nekonečna je nedosažitelný. On ale není jen nedosažitelný, on prostě neexistuje.Na té kouli to můžeš i
MB |
Edited by - Miloslav Bažant on 02/12/2008 17:51:52 |
|
|
|
Rzwald
Grafoman
1522 Posts |
Posted - 02/12/2008 : 18:14:07
|
quote:
Originally posted by noemus
quote:
Originally posted by Rzwald
tady to máš na obrázku (napravo) ty rovnoběžky http://www.obloha.webzdarma.cz/sourad1.GIF
...dokonce mají svůj název (almukantaráty)
Přímka na kouli je kružnice, ale ne každá kružnice na kouli je přímka. Nerad ti zase dávám úkoly, ale přímka je definována jako nejkratší spojnice dvou bodů, ale ne všechny kružnice na kouli tohle splňují, promysli si to ...
mno...dobrá....jenže almukantaráty jsou podle mě přímky...podle tebe ne? Pokud ano, tak jsou příkladem rovnoběžek.
...jinak imo to plyne i ze symetrie - aneb návod na sestrojení:
1. vezmi jednu libovolnou polokouli na kouli a udělej na ni přímku P
2. tou prolož rovinu R
3. změř vzdálenost D této roviny od roviny procházející podstavou
4. vztyč kolmici na rovinu R
5. najdi bod B, který leží na kolmici a je od paty kolmice vzdálen dvojnásobek D
6. bodem B prolož rovinu R2 kolmou k ke kolmici
7. průnik R2 s povrchem polokoule bude přímka rovnoběžná s P
quote:
Originally posted by noemus
quote:
Originally posted by Rzwald
ano, ale ten postulát je tak jasný jako je jasný postulát přidáš-li ke stejnému stejné
No to bohužel není. Protože "jasný" znamená, že to vidíš. ale jak můžeš vidět, že se něco v nekonečnu neprotíná?
Možná by sis měl ujasnit proč ti to vlastně připadá zřejmé. Není to náhodou proto, že ses to takhle ve škole učil?
ale já taky nevidím, že x+nekonečno = y+nekonečno (v tom příkladu hore)
...pokud je jasný postulát ke stejnému stejné, pak jsou imo jasné i rovnoběžky
mimochodem ve škole jsme se učili, že to jasné není, zda se rovnoběžky protnou nebo ne
...imho to prostě jasné je, dokonce je to jasné jak facka, nebylo to jasné jenom Cantorovi a od té doby se říká, že to nemusí být jasné, což nechápu, neboť před Cantorem bylo hafa stejně slavných matematiků, kterým to jasné taky bylo...tak nevím, proč to Cantor tak ovlivnil... |
|
|
|
Rzwald
Grafoman
1522 Posts |
Posted - 02/12/2008 : 18:17:18
|
quote:
Originally posted by Miloslav Bažant
Já myslím, že to není o pokoře.Nežiji v kulovém prostoru a ani nevím, že by někde existoval. Přímka a kružnice jsou pro mne naprosto rozdílné věci. Skus si přenést ten trojůhelník s kulového prostoru do dvojrozměrného a poznáš,že to trojůhelník není,protože jeho strany jsou vyklenuté,čili je to jiný tvar a tak to beru. Je li řeč o trojůhelníku,apk mluvím o trojůhelníku a nikoliv jiném tvaru. Pokud jsou ty strany zaoblené,pak nedokáži ani změřit úhel, který svírají, leda bych měžil úhel tečen kružnice. -Jenže v jaké vzdálenosti od vrcholu???
MB, to neřeš....to je prostě otázka definic...
...je užitečné nadefinovat trojúhelník pomocí přímek, neboť pak bys pro "trojúhelník" na kouli musel vymýšlet spešl název, přitom to je ten stejný útvar, jenom zdeformovaný, z pohledu eukleidovského...
...stejně tak je kružnice zdeformovanýáá přímka
představuj si přímku jako trajektorii fotonu
pokud budeš mít dostatečně silnou gravitaci, pak trajektorie fotonu (tedy přímka) může mít tvar kružnice....to pak není divný, že přímka není přímá... |
|
|
|
Miloslav Bažant
Ultragrafoman
Czech Republic
6254 Posts |
Posted - 02/12/2008 : 18:37:03
|
Rzwalde.
Chceš říci,že lidi různé útvary pojmenovávali zbytečně? I trojůhelník by mohla být zřikrát zalomená přímka a křivka je pouze zdeformovaná přímka. Budeme tedy všem tvarům říkat přímka??? Ty slova jsou zde proto,abychom věděli oč jde. Namaluj si na papír tři body rovnstranného trojůhelníku a spoj je obloukovitou "přímkou". Je to trojůhelník??? Pokud ano, pak není nutné ten trojůhelník vkládat na kulovitou rovinu,ale můžeš jej nechat tak a tvrdit, že každý z úhlů může mít devadesát stupňů. To není otázka definic, ale zdravého rozumu.Nemá li nějaký obrazec název, je třeba jej vytvořit aby nevznikaly takové nesmysly. Pro některé lidi je svět natolik jednoduchý, že vymýšlejí koniny, jen aby byl složitější a ve filosofii zvláště.
MB |
|
|
|
Rzwald
Grafoman
1522 Posts |
Posted - 02/12/2008 : 21:28:20
|
quote:
Originally posted by Miloslav Bažant
Rzwalde.
Chceš říci,že lidi různé útvary pojmenovávali zbytečně? I trojůhelník by mohla být zřikrát zalomená přímka a křivka je pouze zdeformovaná přímka. Budeme tedy všem tvarům říkat přímka??? Ty slova jsou zde proto,abychom věděli oč jde. Namaluj si na papír tři body rovnstranného trojůhelníku a spoj je obloukovitou "přímkou". Je to trojůhelník??? Pokud ano, pak není nutné ten trojůhelník vkládat na kulovitou rovinu,ale můžeš jej nechat tak a tvrdit, že každý z úhlů může mít devadesát stupňů. To není otázka definic, ale zdravého rozumu.Nemá li nějaký obrazec název, je třeba jej vytvořit aby nevznikaly takové nesmysly. Pro některé lidi je svět natolik jednoduchý, že vymýšlejí koniny, jen aby byl složitější a ve filosofii zvláště.
MB
MB, to má své důvody
...např. --- jak sestrojíš ten "trojúhelník" na kouli?
..když si napíšeš postup, tak postup sestrojení "trojúhelníka" na kouli bude uplně stejný jak postup sestrojení trojúhleníka v ploché rovině
...a stejný postup by měl vést k stejným útvarům, ne?
Jediný rozdíl je to, kde to sestrojuješ -- geometrie prostoru (nebo spíš roviny), na který kreslíš.
..tedy jediný rozdíl je že v prním případě kreslíš na kouli a v druhém případě kreslíš do ploché roviny
...je jasné, že geometrie ovlivní výsledný tvar toho útvaru...
...ale nemá smysl zavádět nové názvy, protože ty útvary jsou totožné, neboť byly sestrojeny stejným postupem (vyber tři body, pak je pospojuj po řadě vždy nekratší cestou a máš trojúhelník)
noeme,
...zeptal jsem se kamaráda, zda je nebo není jasné, že rovnoběžky se v nekonečnu neprotnou...ten mi na to řekl, že ony se ale klidně protnout můžou, neboť nemusí platit, že se ty rovnoběžky k sobě nepřibližují --- oni se k sobě můžou přibližovat, ale jen nekonečně malinko
...pokud se k sobě nekonečně malinko přibližují, je jasné, že v nekonečnu se protnou
...teď fígl: co je to nekonečně málo?
nekonečně malé číslo č je číslo, které je menší než 1/n, kde n je libovolně velké číslo
č je ale nutně 0 (důkaz: kdyby nekonečně malé číslo č bylo nějaké nenulové...tak byť by bylo jakkoliv malé, vždy mohu vzít n tak velké, že 1/n bude menší než č ...to je ale spor, neboť č má být nejmenší možné --- z toho plyne, že č musí být nulové)
tedy platí rovnost: č = 0
(p.s. podobně 0,999999...(periodických) = 1 protože 0,9999... je o nekonečně malé číslo menší než 1, tedy 0,9999... je identické s jedničkou)
no a použití fíglu na rovnoběžky:
vzhledem k tomu, že nekonečně málo znamená nula
...tak stav, kdy se rovnoběžky k sobě nepřibližují je stejný jako stav, kdy se k sobě přibližují nekonečně malinko
přičemž pokud se k sobě přibližují nekonečně malinko, tak se v nekonečnu protnou
tedy stav, kdy se rovnoběžky v nekonečnu protnou je stejný jako stav, kdy se neprotnou
problém je, že (řekněme, že jsoui rovnoběžky od sebe vzdáleny D) v libovolné dálce (jiné než nekonečné) se k sobě stihnou přiblížit nejvýše o nekonečně malinko (tedy budou ve vzdálenost D - č = D - 0 = D)
...teprve v nekonečnu by se protly
...jenže nekonečna nelze dosáhnout ---- lze dosáhnout libovolné vzdálenosti (a rovnoběžky budou stále od sebe ve vzdálenosti D), ale ne nekonečné vzdálenosti
pro mě z toho vyplývá, že je nesmyslné se tázat, zda se v nekonečnu protnou nebo neprotnou -- jsou možné obě odpovědi (to jednak), ale hlavně nekonečna nikdy nedosáhneš |
|
|
|
noemus
Grafoman
Czech Republic
1149 Posts |
Posted - 03/12/2008 : 01:16:19
|
quote:
Originally posted by Rzwald
pro mě z toho vyplývá, že je nesmyslné se tázat, zda se v nekonečnu protnou nebo neprotnou -- jsou možné obě odpovědi (to jednak), ale hlavně nekonečna nikdy nedosáhneš
To je mimochodem správný závěr. Nicméně je v rozporu s tím, že je to podle tebe zřejmé.
Právě z těchto nebo podobných důvodů mohly být (a byly) vymyšleny alternativy k původnímu pátému postulátu. Kdyby byl fakt, že rovnoběžka skutečně existuje tak zřejmý, tak by asi neeukleidovské geometrie existovat nemohly (resp. byly by ve sporu s ostatnímy axiomy geometrie)
1. alternativa = přímka procházející daným bodem různým od dané přímky se s ní vždy protne => to vede k eliptické geometrii
2. alternativa = existuje více než jedna přímka procházející daným bodem různým od dané přímky, která se s touto přímkou neprotne. => to zase vede k hyperbolické (sedlové) geometrii
Ještě k té zřejmosti:
Nevím proč do toho pleteš právě Georga Cantora, ten se o rozvoj neeukleidovských geometrií příliš nezasloužil. Jeho doménou byla spíše teorie množin. Nicméně se mýlíš v tom, že by pátý postulát byl každému zřejmý. Právě naopak historie geomtrie je především historií pokusů jak dokázat pátý postulát. Mnoho slavných matematiků se o to pokoušelo, ale nikdo neuspěl. Až nakonec Lobačevského a nezávisle na něm i Gausse napadlo položit si otázku, zda by náhodou nemohla existovat geometrie ve které by tento axiom neplatil. A to byla mimochodem v té době velice kacířská myšlenka, protože nikdo ani v nejmenším nepochyboval, že geometrie je jen jedna a pátý postulát v ní dozajista platí, a je jen zapeklitě těžké to dokázat.
Ostatní axiomy geometrie jsou zcela jiného charakteru než pátý postulát a je možné jejich platnost dovést k evidenci docela snadno. U pátého postulátu se však podobnou evidenci po staletí nedařilo zjednat. A dnes je jasné, že to bylo proto, že to prostě není možné.
Ad přímka na kouli:
Tak tedy ještě jednou, definice přímky je přeci jasná - nejkratší spojnice dvou bodů. Myšleno samozřejmě na povrchu koule. Nechtěj tu po mě důkaz, ale dá se dokázat, že tuto podmínku splňuje jen kružnice s největším průměrem (tedy kružnice vzniklá jako řez rovinou vedený středem koule), jakmile použiješ pro spojení dvou bodů na povrchu koule kružnici s menším průměrem, pak se dá ukázat, že můžeme nakreslit kratší spojnici. a to je přesně ona maximální kružnice.
Nemůžeš si tedy měnit definici přímky na kouli měnit jak se ti zlíbí. (Můžeš si samozřejmě dělat cokoliv co chceš, ale pak se ti může stát, že sám sebe vyloučíš z okruhu lidí se kterými se dá rozumně diskutovat) |
|
|
|
noemus
Grafoman
Czech Republic
1149 Posts |
Posted - 03/12/2008 : 01:24:43
|
Mimochodem, když nad tím tak přemýšlím. Tak u pátého postulátu bych asi vzal zpět svou domněnku, že se jedná o apriorní soud.
Zájemcům bych pak doporučoval si přečíst vydání Eukleidových základů, které byly v nedávné době konečně přeloženy do češtiny. O pátém axiomu, resp. o axiomu o rovnoběžkách se tam jistě dočte mnoho zajímavého a snad i pochopí proč je to takový problém.
Všechny Eukleidovy axiomy (resp. postuláty) byly vlastně návody jak uvidět "že to platí" - tedy jak dovést dané tvrzení k evidenci.
Pátý postulát je však jediná vyjímka. Protože pouze tvrdí, "že to platí" aniž by dával nějaký návod jak to "uvidět". Eukleides sám si nejspíše uvědomoval, že je to problém. A po něm se tento problém snažili vyřešit mnozí. Proto mne trochu udivuje, když se někdo silácky holedbá jak je to pro něj zřejmé. Buď je to super-génius nebo je bláhový - a pravda bude spíše to druhé, i když kdo ví... |
|
|
|
noemus
Grafoman
Czech Republic
1149 Posts |
Posted - 03/12/2008 : 01:42:11
|
Ještě k tomu nekonečně malému číslu, mýlíš se ve dvou věcech:
1. 0,999999 s periodou je jen jiný zápis pro číslo 1 a není tedy nekonečně blízké 1, ale je s tímto číslem totožné.
2. Nekonečně malé čislo, není nulové číslo
Abys mohl nekonečně malá čísla používat pak je musíš buď správně definovat - a to vůbec není snadné (např. Vopěnkova teorie infinetisimálního kalkulu nebo Robinsonova nestandardni analyza) Nebo musíš "nekonečnou malost" simulovat pomocí limity, a to také není právě jednoduché.
Takže bych to doporučoval opatrnost
|
|
|
|
Topic |
|
|
|
Kant a moderni matemetika
