| T O P I C R E V I E W |
| IPC |
Posted - 03/11/2008 : 18:50:14
Kant se domnival ze axiomy euklidovske geometrie jsou nam dany a priori, ja si myslim ze se v tomto miste spletl, protoze neni duvod proc zrovna axiomy euklidovske geometrie?
pokud mate nejaky napad tak se ozvete. |
| 15 L A T E S T R E P L I E S (Newest First) |
| Miloslav Bažant |
Posted - 31/03/2010 : 07:59:55
Pan chytrý.
Já sice nejsem odborník na cizí slova a jejich významy,ale axiomy jsou pro mne spíše výchozí a záchytné body logiky. Tyto mohou být předem dané, ale také zcela nebo z části chybné. Mohu vycházet s chybných axiomů. Chybné axiomy přece nejsou předem dané.Axiomy jsou vytvářeny v mysli jako výchozí a záchytné body logiky a v mysli nic není předem dané.Přesto to tak mohl Kant myslet, jak píšeš. V té eukleidovské matematice tak tomu nejspíše je.
MB |
| pan.chytry |
Posted - 28/03/2010 : 23:49:09
Axiom je něco "předem dané" neboli jiným slovem a priori.
Čili Kant měl pravdu. Pravděpodobně šlo jen o slovní hříčku, na základě které měli studenti pochopit význam slova axiom a sousloví a priori.
|
| noemus |
Posted - 05/12/2008 : 17:50:35
quote:
Originally posted by Rzwald
tohle moc nechápu...
...překvapivé by to bylo, kdyby šla celá geometrie vybudovat jen na základě těch čtyřech...což asi nejde, jinak by pátý byl na nic
...pokud tedy přijmu místo pátého jiný, budu mít trochu jinou geometrii než mám, ale nepřijde mi překvapivé, že to nebude ve sporu se zbývalými čtyřmi (nebo jak jsi to myslel s tím "ve sporu"?)...kdyby bylo, dalo by se to považovat za důkaz toho, že pátý neplatí
Je to překvapivé proto, že více než dva tisíce let si všichni mysleli, že ty čtyři postuláty jsou dostačující a proto se pokoušeli dokázat ten pátý. A pro mnohé to byl šok, když zjistili, že pátý postulát nejen, že nejde dokázat, ale je možné jej nahradit jiným. Gauss dokonce toto zjištění raději ani nepublikoval a až po jeho smrti se z jeho pozůstalosti zjistilo, že byl vlastně první kdo na to přišel.
Je samozřejmě těžké vcítit se do toho jak přemýšleli geometři před objevem neukleidovských geometrií, ale já osobně si myslím, že mnoho lidí stále nevědomky dlí v minulosti a právě ono považování některých novověkých objevů za samozřejmé je toho známkou. Ten kdo skutečně chápe význam těchto objevů, je nemůže považovat za samozřejmé. Navíc to co považujeme za samozřejmé pak často uniká naší pozornosti a nekriticky to přijímáme a to je často chyba.
quote:
jinak ty nestandradní analýzy moc nechápu (ne, že bych o nich toho věděl nějak moc), neboť přednášející mluvil ve velmi vágních pojmech typu "za obzorem", "kdyby jsme se podívali na osu reálných čísel mikroskopem", atd.
...přijde mi to prostě jen, že se prostě natvrdo nadefinuje, že nekonečně velká čísla jsou větší než jakékoliv reálné a menší než plus nekonečno a že existují sobě nekonečně blízká, ale různá čísla (v standardní pokud je x nekonečně blízké y, potom x=y, tedy nejsou různá)
...nevím, proč je to užitečné..
...veškerý úžitek mi přijde pouze formální (důkazy jsou zřejmější než v normální analýze)
Řekl bych, že velký význam má infinetisimální kalkul především pro fyziku. Konkrétně pro sestavování diferenciálních rovnic, které obvykle probíhá právě úvahami přes nekonečně malá čísla (Newton jim např. říkal "fluxe"). Infininetisimální kalkul pak dává fyzikům do ruky určité zakotvení a zpřesnění úvah, které už dávno stejně používají, ale často je museli pracně převádět do jazyka epsilon delta gymnastiky aby svá tvrzení mohli dokázat.
Nejde tu tedy jen o důkazy, ale především o způsob myšlení. Složitost kalkulu a symboliky má mimořádný význam pro možnosti toho co jsme schopni pochopit a vymyslet. Díky Leibnitzovi a dalším reformátorům je matematická analýza alespoň trochu snesitelná, v původní Newtonově zápisu by to byla skutečná vrcholová gymnastika.
Infinetisimální kalkul podle mne (a nejen podle mne) daleko jasněji vystihuje o co vlastně v matematické analýze jde. Především u integrálu je to vidět velice jasně. |
| Rzwald |
Posted - 04/12/2008 : 14:42:50
quote:
Originally posted by noemus
Jde o tuto konstrukci:
Máme přímku a bod, který na ní neleží. Sestrojte přímku, která tímto bodem prochází a nikde se již danou přímkou neprotíná.
Pokud nepřijmeš jako daný pátý postulát, který říká, že to jde. Tak nemůžeš nijak dokázat, že se ti to podařilo!!! Tohle prostě nevyvrátíte. O takový důkaz se pokoušelo mnoho matematiků a vždy museli přijmout (třeba i skrytě) nějakou formu pátého postulátu.
Jedna z varianta pátého postulátu například říká, že existuje alespoň jeden čtverec. Může vám to připadat podivné, ale jsou k tomu dost závažné důvody. A pokud si myslíte, že jste chytřejší než slavní matematici, tak vám to vyvracet nebudu, takových tu bylo...
Pokud tedy ve výše uvedené konstrukci přijmeš pátý postulát jako platný, pak daným bodem budeš moci vést právě jednu rovnoběžku a budeš moci dokázat, že je všude stejně vzdálená od původní přímky.
Formulace problému jako: zda se rovnoběžky v nekonečnu protnou nebo ne je tedy nešťastná. Je možné, že jsem ji někde použil, ale určitě jsem tím mínil "domnělé" rovnoběžky, šlo tu především o jejich existenci.
ok, souhlasím, že takhle formulováno, to není nic zřejmého...
..nicméně tuhle formulaci jsem ještě neslyšel...obvykle se (v popoulárních knížkách, atd.) užívá ta formulace o již existujících rovnoběžkách, která je tedy imo matoucí
quote:
Originally posted by noemus
To co je zásadní a zajímavé, je že můžeš přijmout i jiný postulát než pátý a nepovede to ke spornému výsledku. To je podle mne zcela zásadní a překvapivé. A mělo by vás to vést k přehodnocení vašeho názoru, že je zřejmé, že takovou rovnoběžku je možné sestrojit. Tedy, že existuje - což je modernější formulace problému.
tohle moc nechápu...
...překvapivé by to bylo, kdyby šla celá geometrie vybudovat jen na základě těch čtyřech...což asi nejde, jinak by pátý byl na nic
...pokud tedy přijmu místo pátého jiný, budu mít trochu jinou geometrii než mám, ale nepřijde mi překvapivé, že to nebude ve sporu se zbývalými čtyřmi (nebo jak jsi to myslel s tím "ve sporu"?)...kdyby bylo, dalo by se to považovat za důkaz toho, že pátý neplatí
quote:
Originally posted by noemus
Ad nekonečně malé číslo:
quote:
Originally posted by Rzwald
nekonečně malé číslo č je číslo, které je menší než 1/n, kde n je libovolně velké číslo
č je ale nutně 0 (důkaz: kdyby nekonečně malé číslo č bylo nějaké nenulové...tak byť by bylo jakkoliv malé, vždy mohu vzít n tak velké, že 1/n bude menší než č ...to je ale spor, neboť č má být nejmenší možné --- z toho plyne, že č musí být nulové)
Je tu několik zásadních výhrad:
Předně by n v oné definici mělo být konečné číslo, protože duálně s nekonečně malými čísly se samozřejmě zavádějí nekonečně velká čísla, která jsou zase vždy větší než libovolné konečné n. Nekonečně malá čísla pak dostaneš jako převrácené hodnoty těchto nekonečně velkých.
Tvůj důkaz je tedy pochybný, resp. měl bys jasně říci z jakých premis vycházíš, postulování nekonečně velkých čísel totiž není v rozporu s aritmetickými zákony - a toho využívají různé nestandardní analýzy.
Nekonečně velké číslo můžeš například vykládat jako "nepředstavitelně velké číslo" a dále musíš za konečné číslo brát jen konečná čísla, která je možné si představit. Co je důležité jsou pravidla která si pro taková čísla a počítání s nimi zavedeš.
O něco podobného jde ve Vopěnkově infinetisimálním kalkulu. Tam se definují přirozená (konečná) čísla jako tzv. polomnožina, tj. třída jejíž prvky není možné jednoznačně specifikovat - to říkám dost vágně, definovat se to dá samozřejmě přesněji.
Za nekonečná se pak považují všechna ta klasická přirozená čísla, která nám do námi vymezené polomnožiny konečných přirozených čísel nespadnou. A světe div se ono to funguje a existuje dokonce jednoznačné mapování matematických vět v klasickém kalkulu na věty v infinetisimálním kalkulu.
noeme, ale už jsem říkal, že mluvím o standardní analýze, ne o žádných nestandardních...
...n bylo samozřejmě konečné (byť libovolně velké) číslo
a moje nekonečně malé číslo mělo být správně nekonečně malé kladné číslo
jinak ty nestandradní analýzy moc nechápu (ne, že bych o nich toho věděl nějak moc), neboť přednášející mluvil ve velmi vágních pojmech typu "za obzorem", "kdyby jsme se podívali na osu reálných čísel mikroskopem", atd.
...přijde mi to prostě jen, že se prostě natvrdo nadefinuje, že nekonečně velká čísla jsou větší než jakékoliv reálné a menší než plus nekonečno a že existují sobě nekonečně blízká, ale různá čísla (v standardní pokud je x nekonečně blízké y, potom x=y, tedy nejsou různá)
...nevím, proč je to užitečné..
...veškerý úžitek mi přijde pouze formální (důkazy jsou zřejmější než v normální analýze) |
| noemus |
Posted - 04/12/2008 : 11:44:55
Ad nekonečně malé číslo:
quote:
Originally posted by Rzwald
nekonečně malé číslo č je číslo, které je menší než 1/n, kde n je libovolně velké číslo
č je ale nutně 0 (důkaz: kdyby nekonečně malé číslo č bylo nějaké nenulové...tak byť by bylo jakkoliv malé, vždy mohu vzít n tak velké, že 1/n bude menší než č ...to je ale spor, neboť č má být nejmenší možné --- z toho plyne, že č musí být nulové)
Je tu několik zásadních výhrad:
Předně by n v oné definici mělo být konečné číslo, protože duálně s nekonečně malými čísly se samozřejmě zavádějí nekonečně velká čísla, která jsou zase vždy větší než libovolné konečné n. Nekonečně malá čísla pak dostaneš jako převrácené hodnoty těchto nekonečně velkých.
Tvůj důkaz je tedy pochybný, resp. měl bys jasně říci z jakých premis vycházíš, postulování nekonečně velkých čísel totiž není v rozporu s aritmetickými zákony - a toho využívají různé nestandardní analýzy.
Nekonečně velké číslo můžeš například vykládat jako "nepředstavitelně velké číslo" a dále musíš za konečné číslo brát jen konečná čísla, která je možné si představit. Co je důležité jsou pravidla která si pro taková čísla a počítání s nimi zavedeš.
O něco podobného jde ve Vopěnkově infinetisimálním kalkulu. Tam se definují přirozená (konečná) čísla jako tzv. polomnožina, tj. třída jejíž prvky není možné jednoznačně specifikovat - to říkám dost vágně, definovat se to dá samozřejmě přesněji.
Za nekonečná se pak považují všechna ta klasická přirozená čísla, která nám do námi vymezené polomnožiny konečných přirozených čísel nespadnou. A světe div se ono to funguje a existuje dokonce jednoznačné mapování matematických vět v klasickém kalkulu na věty v infinetisimálním kalkulu. |
| noemus |
Posted - 04/12/2008 : 11:25:00
quote:
Originally posted by Miloslav Bažant
Rzwalde.
Chceš říci,že lidi různé útvary pojmenovávali zbytečně? I trojůhelník by mohla být zřikrát zalomená přímka a křivka je pouze zdeformovaná přímka. Budeme tedy všem tvarům říkat přímka??? Ty slova jsou zde proto,abychom věděli oč jde. Namaluj si na papír tři body rovnstranného trojůhelníku a spoj je obloukovitou "přímkou". Je to trojůhelník??? Pokud ano, pak není nutné ten trojůhelník vkládat na kulovitou rovinu,ale můžeš jej nechat tak a tvrdit, že každý z úhlů může mít devadesát stupňů. To není otázka definic, ale zdravého rozumu.Nemá li nějaký obrazec název, je třeba jej vytvořit aby nevznikaly takové nesmysly. Pro některé lidi je svět natolik jednoduchý, že vymýšlejí koniny, jen aby byl složitější a ve filosofii zvláště.
Trojúhelník na kouli je asi tak stejně starý objekt jako trojúhelník v rovině. Oba pojmy zavedli staří řekové (a možná už jejich předchůdci). U koule se však říká "sférický trojúhelník" aby se to odlišilo
To jen abych tě Slávku trochu uklidnil, že lidé si názvy nevolí úplně libovolně a že v tomto konkrétním případě je slovo trojúhelník použito zcela správně a s dlouhou tradicí
Proč se kružnici říká přímka.
To je trošku složitější. Před objevem neeukleidovských geometrií by nikoho ani ve snu nenapadlo říkát kružnici přímka. Ale protože geometrie je vystavěna axiomaticky, tak umožňuje různé výklady toho o čem vlastně její pojmy vypovídají.
Klasický výklad je ten, že přímka je prostě "rovná čára". Ale po důkazu, že lze přijmout i alternativní axiom k pátému postulátu. Tu vznikla otázka, jak si vlastně představit svět (geometrii) ve které není možné sestrojit rovnoběžky. Nebo naopak jak si představit svět ve kterém může být více "rovnoběžek" (těm se pak už ale neříká rovnoběžky, ale rozběžky a souběžky)
Teprve později si kdosi všiml, že pokud zakážeme existenci rovnoběžek, pak vlastně dostaneme geometrii na povrchu koule a přímky na kouli tedy budou vykládány kružnice.
Púvodní (Euklidova) definice rovnoběžnosti:
Rovnoběžky jsou přímky, které jsouce v téže rovině a prodlouženy jsouce na obě strany do nekonečna nikde se nesbíhají.
je tedy vidět, že tu nejde o to zda se rovnoběžky protnou = ty se nikdy neprotnou, ale o to zda, když se pokusím sestrojit rovnoběžky, zda se mi to podaří a jak.
A tady je původní znění Euklidových postulátů:
1.Budiž úkolem od kteréhokoli bodu ke kterémukoli bodu vésti přímku.
2.A přímku omezenou nepřetržitě rovně prodloužiti.
3.A z jakéhokoli středu a jakýmkoli poloměrem narýsovati kruh.
4.A že všechny pravé úhly sobě rovny jsou.
5.A když přímka protínající dvě přímky tvoří na téže straně přilehlé úhly menší dvou pravých, ty dvě přímky prodlouženy jsouce do nekonečna že se sbíhají na té straně, kde jsou úhly menší dvou pravých
Obojí bylo samozřejmě mnohokrát přeformulováno ale problém se tím neodstranil jen se více ukryl a tak se dnes každému druhému zdá, že je chytřejší než staří řekové, když "jasně vidí, že pátý postulát platí".
Všimněte si prosím, že 5. postulát je výrazně jiný než ostatní:
První říká, že je možné spojit dva body přímkou (rovnou čárou - pojem přímka v dnešním smyslu nebyl znám)
Druhý pak, že je možné přímku libovolně prodlužovat = tady je jasně vidět, že to vlastně přímka v dnešním smyslu nebyla
Třetí pak postuluje, že je možné vzít libolný bod a použít ho jako střed kružnice (poloměrem je zde míněn druhý bod, který spojen se středem udává velikost tohoto poloměru)
Čtvrtý de-facto definuje pravé úhly a je důležitý pro důkazy a konstrukce kde se používá shodnost úhlů
ale pátý postulát jako jediný potřebuje nekonečno a zatímco předchozí postuláty vlastně jen postulují, že je možné něco jednoduchého zkonstruovat, tak v tomto případě se zaručuje něco co může být daleko za "obzorem" (vypůčuji se zde Vopěnkovu terminologii)
U pátého postulátu totiž velice snadno může nastat situace, kdy se konstrukce na papír už nevejde a my musíme předpokládat, že se to někde daleko od nás přeci jen protne. A na rozdíl od předchozích postulátů, nám tady změna měřítka moc nepomůže, protože když zmenším měřítko, tak se začnou přímky přibližovat k sobě až budou nerozlišitelné a zase tedy nebudu "zřejmě vidět", že se protínají, budou mi připadat totožné.
V Euklidových postulátech tedy jde především o konstrukci, ale pátý postulát vlastně moc konstrukční není a právě proto byl terčem mnohé kritiky a tolik matematiků se ho pokoušelo zbavit. |
| noemus |
Posted - 04/12/2008 : 10:40:09
Ad rovnoběžky:
Myslím, že si tady nerozumíme v jedné věci. Není pochyb o tom, že když budou mít dva objekty od sebe stále stejnou vzdálenost, tak se neprotnou.
V pátém postulátu jde spíše o to zda objekt, který uvedenou konstrukcí vznikne bude skutečně rovnoběžka.
A na tuto otázku není zřejmá odpověď. A protože není zřejmá pokoušeli se to mnozí matematici dokázat z ostatních postulátů, které zřejmé jsou.
Jde o tuto konstrukci:
Máme přímku a bod, který na ní neleží. Sestrojte přímku, která tímto bodem prochází a nikde se již danou přímkou neprotíná.
Pokud nepřijmeš jako daný pátý postulát, který říká, že to jde. Tak nemůžeš nijak dokázat, že se ti to podařilo!!! Tohle prostě nevyvrátíte. O takový důkaz se pokoušelo mnoho matematiků a vždy museli přijmout (třeba i skrytě) nějakou formu pátého postulátu.
Jedna z varianta pátého postulátu například říká, že existuje alespoň jeden čtverec. Může vám to připadat podivné, ale jsou k tomu dost závažné důvody. A pokud si myslíte, že jste chytřejší než slavní matematici, tak vám to vyvracet nebudu, takových tu bylo...
Pokud tedy ve výše uvedené konstrukci přijmeš pátý postulát jako platný, pak daným bodem budeš moci vést právě jednu rovnoběžku a budeš moci dokázat, že je všude stejně vzdálená od původní přímky.
Formulace problému jako: zda se rovnoběžky v nekonečnu protnou nebo ne je tedy nešťastná. Je možné, že jsem ji někde použil, ale určitě jsem tím mínil "domnělé" rovnoběžky, šlo tu především o jejich existenci.
To co je zásadní a zajímavé, je že můžeš přijmout i jiný postulát než pátý a nepovede to ke spornému výsledku. To je podle mne zcela zásadní a překvapivé. A mělo by vás to vést k přehodnocení vašeho názoru, že je zřejmé, že takovou rovnoběžku je možné sestrojit. Tedy, že existuje - což je modernější formulace problému. |
| Rzwald |
Posted - 03/12/2008 : 16:53:58
quote:
Originally posted by noemus
Ještě k tomu nekonečně malému číslu, mýlíš se ve dvou věcech:
1. 0,999999 s periodou je jen jiný zápis pro číslo 1 a není tedy nekonečně blízké 1, ale je s tímto číslem totožné.
2. Nekonečně malé čislo, není nulové číslo
Abys mohl nekonečně malá čísla používat pak je musíš buď správně definovat - a to vůbec není snadné (např. Vopěnkova teorie infinetisimálního kalkulu nebo Robinsonova nestandardni analyza) Nebo musíš "nekonečnou malost" simulovat pomocí limity, a to také není právě jednoduché.
Takže bych to doporučoval opatrnost
ad 1. tak to vím taky, ale to je definice (že jsou možné dva zápisy) -- a proč je taková? Protože to je to samé...
ad 2. tak mluvil jsem o standartní analýze, nikoliv o kalkulu nekonečně malých veličin ani o nestandardní analýze |
| Rzwald |
Posted - 03/12/2008 : 16:51:40
quote:
Originally posted by noemus
quote:
Originally posted by Rzwald
pro mě z toho vyplývá, že je nesmyslné se tázat, zda se v nekonečnu protnou nebo neprotnou -- jsou možné obě odpovědi (to jednak), ale hlavně nekonečna nikdy nedosáhneš
To je mimochodem správný závěr. Nicméně je v rozporu s tím, že je to podle tebe zřejmé.
imo to zřejmé je, neboť
1. v jakékoliv vzdálenosti se neprotnou a jsou od sebe stále stejně vzdálené
2. a v nekonečnu, naráz (?!) by měly překonat v jednom okamžiku svoji vzdálenost a protnout se?! To je imo zřejmý nesmysl.
quote:
Originally posted by noemus
Ostatní axiomy geometrie jsou zcela jiného charakteru než pátý postulát a je možné jejich platnost dovést k evidenci docela snadno. U pátého postulátu se však podobnou evidenci po staletí nedařilo zjednat. A dnes je jasné, že to bylo proto, že to prostě není možné.
zřejmé není to, co lze dokázat, zřejmé je to, co je zřejmé....imo je zřejmé, že nejsem koza (taková ta co mečí a jí petržel)
...ale imo to nemůžeš dokázat, neboť jsem třeba zmutovaná koza, která dokáže měnit svoji podobu na člověka a dokáže mluvit a ťukat na klávesnici
quote:
Originally posted by noemus
Ad přímka na kouli:
Tak tedy ještě jednou, definice přímky je přeci jasná - nejkratší spojnice dvou bodů. Myšleno samozřejmě na povrchu koule. Nechtěj tu po mě důkaz, ale dá se dokázat, že tuto podmínku splňuje jen kružnice s největším průměrem (tedy kružnice vzniklá jako řez rovinou vedený středem koule), jakmile použiješ pro spojení dvou bodů na povrchu koule kružnici s menším průměrem, pak se dá ukázat, že můžeme nakreslit kratší spojnici. a to je přesně ona maximální kružnice.
aha....tak to jsem nevěděl...díky |
| Miloslav Bažant |
Posted - 03/12/2008 : 07:53:36
Richarde.
Myslím, že se neholedbám tím jak je to pro mne jednoduché, spíše se svým spůsobem ptám.Nemluvím ze znalosti,ale to o čem je řeč si představuji.
Ad rovnoběžky. Pro mne jsou rovnoběžky přímkami, které mají od nekonečna do nekonečna stejnou vzdálenost. Mají li různou vzdálenost, nejsou to rovnoběžky i kdyby se jednalo o nejměnší možné číslo rozdílu. Proto se nemohu nikde protnout. Totéž se dá říci i slovy, že se rovnoběžky protínají v nekonečnu.Vlastně je tím řečeno totéž,ale takové vyjádření vypadá efektněji a promyšleněji. Dá se říci, že si tím dělají ti klasici s lidí legraci. Někteří lidé to jako žert přijmou a berou to tak, že se rovnoběžky neprotínají,ale někteří lidé to přijímají třeba od svých učitelů jako fakt a věří tomu, že se rovnoběžky v nekonečnu protínají. Opět to není mé tvrzení,ale to jak to prostě jen vidím, jestli špatně, nebo dobře je otázkou. Pokud nakreslíš rovnoběžky na kouli můžeš koulí do nekonečna otáčet a rovnoběžky se nikdy neprotnou.Pokud se protnou, stačí tě na toto zjištění jedno jediné otočení koulí a pak to nejsou rovnoběžky.
K tomu trojúhelníku na kouli. Každá geometrie má svůj význam a matematici mají svou zábavu v tom,že rádi vyvrací uznané definice, jako je tomu s tím součtem vnitřních úhlů trojúhelníku. Čili beru tuto geometrii jako platnou se vším co obsahuje. Propojím li tři body na kouli nejkratší možnou cestou,dle definice trojůhelníku vznikne trojůhelník. Já to třeba uznávám,ale prostě mně vadí, že to co vznikne nemá tvar trojůhelníku. Pro mne přímka není rovna oblouku.Nejkratší cestou mezi těmi třemi body by byla tětiva těchto oblouků a tehdy by vznikl klasický trojůhelník.Beru to tak,že určitý trojůhelník má dány vzdálenosti vrcholů, obvod a obsah. Na kouli se všechny tyto hodnoty mění a přeneseš li si tento trojůhelník do dvourozměrného vyjádření, nevnikne tvar trojůhelníku protože jsou strany obloukovité, čili nepropojují vrcholy nejkratší cestou. Proto si myslím, že by měl tento tvar mít jiný název,jaký, to nevím. Skus si však představit přenesení trojůhelníku třeba na kužel, nebo třeba na diskovitý tvar.Proč jen na kouli??? Takto přemýšlím a neříkám tím,že se kapacity mýlí. Ukazuji tím jen jak to vidím já a čekám, že mně bude odpovězeno,čili jsou to otázky i když mohou jako tvrzení vyznít.
Jinak si dokáži představit ,že tato geometrie může mít využití čili ji jako chybnou nesoudím.
MB |
| noemus |
Posted - 03/12/2008 : 01:42:11
Ještě k tomu nekonečně malému číslu, mýlíš se ve dvou věcech:
1. 0,999999 s periodou je jen jiný zápis pro číslo 1 a není tedy nekonečně blízké 1, ale je s tímto číslem totožné.
2. Nekonečně malé čislo, není nulové číslo
Abys mohl nekonečně malá čísla používat pak je musíš buď správně definovat - a to vůbec není snadné (např. Vopěnkova teorie infinetisimálního kalkulu nebo Robinsonova nestandardni analyza) Nebo musíš "nekonečnou malost" simulovat pomocí limity, a to také není právě jednoduché.
Takže bych to doporučoval opatrnost
|
| noemus |
Posted - 03/12/2008 : 01:24:43
Mimochodem, když nad tím tak přemýšlím. Tak u pátého postulátu bych asi vzal zpět svou domněnku, že se jedná o apriorní soud.
Zájemcům bych pak doporučoval si přečíst vydání Eukleidových základů, které byly v nedávné době konečně přeloženy do češtiny. O pátém axiomu, resp. o axiomu o rovnoběžkách se tam jistě dočte mnoho zajímavého a snad i pochopí proč je to takový problém.
Všechny Eukleidovy axiomy (resp. postuláty) byly vlastně návody jak uvidět "že to platí" - tedy jak dovést dané tvrzení k evidenci.
Pátý postulát je však jediná vyjímka. Protože pouze tvrdí, "že to platí" aniž by dával nějaký návod jak to "uvidět". Eukleides sám si nejspíše uvědomoval, že je to problém. A po něm se tento problém snažili vyřešit mnozí. Proto mne trochu udivuje, když se někdo silácky holedbá jak je to pro něj zřejmé. Buď je to super-génius nebo je bláhový - a pravda bude spíše to druhé, i když kdo ví... |
| noemus |
Posted - 03/12/2008 : 01:16:19
quote:
Originally posted by Rzwald
pro mě z toho vyplývá, že je nesmyslné se tázat, zda se v nekonečnu protnou nebo neprotnou -- jsou možné obě odpovědi (to jednak), ale hlavně nekonečna nikdy nedosáhneš
To je mimochodem správný závěr. Nicméně je v rozporu s tím, že je to podle tebe zřejmé.
Právě z těchto nebo podobných důvodů mohly být (a byly) vymyšleny alternativy k původnímu pátému postulátu. Kdyby byl fakt, že rovnoběžka skutečně existuje tak zřejmý, tak by asi neeukleidovské geometrie existovat nemohly (resp. byly by ve sporu s ostatnímy axiomy geometrie)
1. alternativa = přímka procházející daným bodem různým od dané přímky se s ní vždy protne => to vede k eliptické geometrii
2. alternativa = existuje více než jedna přímka procházející daným bodem různým od dané přímky, která se s touto přímkou neprotne. => to zase vede k hyperbolické (sedlové) geometrii
Ještě k té zřejmosti:
Nevím proč do toho pleteš právě Georga Cantora, ten se o rozvoj neeukleidovských geometrií příliš nezasloužil. Jeho doménou byla spíše teorie množin. Nicméně se mýlíš v tom, že by pátý postulát byl každému zřejmý. Právě naopak historie geomtrie je především historií pokusů jak dokázat pátý postulát. Mnoho slavných matematiků se o to pokoušelo, ale nikdo neuspěl. Až nakonec Lobačevského a nezávisle na něm i Gausse napadlo položit si otázku, zda by náhodou nemohla existovat geometrie ve které by tento axiom neplatil. A to byla mimochodem v té době velice kacířská myšlenka, protože nikdo ani v nejmenším nepochyboval, že geometrie je jen jedna a pátý postulát v ní dozajista platí, a je jen zapeklitě těžké to dokázat.
Ostatní axiomy geometrie jsou zcela jiného charakteru než pátý postulát a je možné jejich platnost dovést k evidenci docela snadno. U pátého postulátu se však podobnou evidenci po staletí nedařilo zjednat. A dnes je jasné, že to bylo proto, že to prostě není možné.
Ad přímka na kouli:
Tak tedy ještě jednou, definice přímky je přeci jasná - nejkratší spojnice dvou bodů. Myšleno samozřejmě na povrchu koule. Nechtěj tu po mě důkaz, ale dá se dokázat, že tuto podmínku splňuje jen kružnice s největším průměrem (tedy kružnice vzniklá jako řez rovinou vedený středem koule), jakmile použiješ pro spojení dvou bodů na povrchu koule kružnici s menším průměrem, pak se dá ukázat, že můžeme nakreslit kratší spojnici. a to je přesně ona maximální kružnice.
Nemůžeš si tedy měnit definici přímky na kouli měnit jak se ti zlíbí. (Můžeš si samozřejmě dělat cokoliv co chceš, ale pak se ti může stát, že sám sebe vyloučíš z okruhu lidí se kterými se dá rozumně diskutovat) |
| Rzwald |
Posted - 02/12/2008 : 21:28:20
quote:
Originally posted by Miloslav Bažant
Rzwalde.
Chceš říci,že lidi různé útvary pojmenovávali zbytečně? I trojůhelník by mohla být zřikrát zalomená přímka a křivka je pouze zdeformovaná přímka. Budeme tedy všem tvarům říkat přímka??? Ty slova jsou zde proto,abychom věděli oč jde. Namaluj si na papír tři body rovnstranného trojůhelníku a spoj je obloukovitou "přímkou". Je to trojůhelník??? Pokud ano, pak není nutné ten trojůhelník vkládat na kulovitou rovinu,ale můžeš jej nechat tak a tvrdit, že každý z úhlů může mít devadesát stupňů. To není otázka definic, ale zdravého rozumu.Nemá li nějaký obrazec název, je třeba jej vytvořit aby nevznikaly takové nesmysly. Pro některé lidi je svět natolik jednoduchý, že vymýšlejí koniny, jen aby byl složitější a ve filosofii zvláště.
MB
MB, to má své důvody
...např. --- jak sestrojíš ten "trojúhelník" na kouli?
..když si napíšeš postup, tak postup sestrojení "trojúhelníka" na kouli bude uplně stejný jak postup sestrojení trojúhleníka v ploché rovině
...a stejný postup by měl vést k stejným útvarům, ne?
Jediný rozdíl je to, kde to sestrojuješ -- geometrie prostoru (nebo spíš roviny), na který kreslíš.
..tedy jediný rozdíl je že v prním případě kreslíš na kouli a v druhém případě kreslíš do ploché roviny
...je jasné, že geometrie ovlivní výsledný tvar toho útvaru...
...ale nemá smysl zavádět nové názvy, protože ty útvary jsou totožné, neboť byly sestrojeny stejným postupem (vyber tři body, pak je pospojuj po řadě vždy nekratší cestou a máš trojúhelník)
noeme,
...zeptal jsem se kamaráda, zda je nebo není jasné, že rovnoběžky se v nekonečnu neprotnou...ten mi na to řekl, že ony se ale klidně protnout můžou, neboť nemusí platit, že se ty rovnoběžky k sobě nepřibližují --- oni se k sobě můžou přibližovat, ale jen nekonečně malinko
...pokud se k sobě nekonečně malinko přibližují, je jasné, že v nekonečnu se protnou
...teď fígl: co je to nekonečně málo?
nekonečně malé číslo č je číslo, které je menší než 1/n, kde n je libovolně velké číslo
č je ale nutně 0 (důkaz: kdyby nekonečně malé číslo č bylo nějaké nenulové...tak byť by bylo jakkoliv malé, vždy mohu vzít n tak velké, že 1/n bude menší než č ...to je ale spor, neboť č má být nejmenší možné --- z toho plyne, že č musí být nulové)
tedy platí rovnost: č = 0
(p.s. podobně 0,999999...(periodických) = 1 protože 0,9999... je o nekonečně malé číslo menší než 1, tedy 0,9999... je identické s jedničkou)
no a použití fíglu na rovnoběžky:
vzhledem k tomu, že nekonečně málo znamená nula
...tak stav, kdy se rovnoběžky k sobě nepřibližují je stejný jako stav, kdy se k sobě přibližují nekonečně malinko
přičemž pokud se k sobě přibližují nekonečně malinko, tak se v nekonečnu protnou
tedy stav, kdy se rovnoběžky v nekonečnu protnou je stejný jako stav, kdy se neprotnou
problém je, že (řekněme, že jsoui rovnoběžky od sebe vzdáleny D) v libovolné dálce (jiné než nekonečné) se k sobě stihnou přiblížit nejvýše o nekonečně malinko (tedy budou ve vzdálenost D - č = D - 0 = D)
...teprve v nekonečnu by se protly
...jenže nekonečna nelze dosáhnout ---- lze dosáhnout libovolné vzdálenosti (a rovnoběžky budou stále od sebe ve vzdálenosti D), ale ne nekonečné vzdálenosti
pro mě z toho vyplývá, že je nesmyslné se tázat, zda se v nekonečnu protnou nebo neprotnou -- jsou možné obě odpovědi (to jednak), ale hlavně nekonečna nikdy nedosáhneš |
| Miloslav Bažant |
Posted - 02/12/2008 : 18:37:03
Rzwalde.
Chceš říci,že lidi různé útvary pojmenovávali zbytečně? I trojůhelník by mohla být zřikrát zalomená přímka a křivka je pouze zdeformovaná přímka. Budeme tedy všem tvarům říkat přímka??? Ty slova jsou zde proto,abychom věděli oč jde. Namaluj si na papír tři body rovnstranného trojůhelníku a spoj je obloukovitou "přímkou". Je to trojůhelník??? Pokud ano, pak není nutné ten trojůhelník vkládat na kulovitou rovinu,ale můžeš jej nechat tak a tvrdit, že každý z úhlů může mít devadesát stupňů. To není otázka definic, ale zdravého rozumu.Nemá li nějaký obrazec název, je třeba jej vytvořit aby nevznikaly takové nesmysly. Pro některé lidi je svět natolik jednoduchý, že vymýšlejí koniny, jen aby byl složitější a ve filosofii zvláště.
MB |
|
|
